用 8 个公式测一测你的 LaTeX 笔记 App

粘贴这 8 个公式，看看渲染结果

这项检查不到一分钟，也不用注册账户。把下面的内容复制到你要测试的 App 里的一条新笔记中，可以一段一段贴，也可以一次全贴，再把结果和每段后面那行说明对照。这里的每一段都是 KaTeX 能渲染的有效 LaTeX，所以出了问题，是 App 的问题，不是输入的问题。

笔记 App 的 LaTeX 自测
一次粘贴一段，和“正确效果”那一行对照。

1. 嵌套分数
\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}
正确效果：三层叠起来的分数线，每一层都比外面那层短，
字号也更小。

2. 带上下限的运算符
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
正确效果：在行间公式（display）模式下，n=1 和无穷大分别位于
求和号的正下方和正上方，而不是在它右边；求和号也比周围的文字高。

3. 矩阵环境
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
正确效果：两行，圆括号撑满矩阵的整个高度，
-1 位于右括号的右上角。

4. 可伸缩定界符
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)
正确效果：每个括号都撑到它所包含的求和式的高度，
成对的两个括号高度相同。

5. 对齐
\begin{align}
(a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
(a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2
\end{align}
正确效果：一个两行的公式块，两个等号在同一列上。

6. 分段
f(x) = \begin{cases}
  x^2 & \text{if } x \ge 0 \\
  -x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
正确效果：一个大括号跨越两行，两个条件用直立的罗马字体，
并且单独排成一列。

7. 宏定义
\def\dd#1{\mathrm{d}#1}
\int_0^1 x^2 \dd{x} = \frac{1}{3}
正确效果：宏被展开，x 前面出现一个直立的 d，
积分号上标着 0 和 1。

8. 化学式
\ce{H2SO4 + 2NaOH -> Na2SO4 + 2H2O}
正确效果：数字是下标，元素符号是直立体而不是斜体变量，
反应箭头完整。

8 个测完之后
- 把光标放进一个渲染好的公式里，选中一个字符。
  如果选不中，这个公式就是一张图片。
- 把系统切换到深色模式。公式仍然是黑色的，说明它自带了浅色背景。
- 把笔记的字号调到最大。图片会变模糊，排版出来的公式依然清晰。

要看的是失败的地方，而不是成功的地方。第 1 段能看出 App 做的是排版，还是字符串替换。第 3 段和第 6 段，是靠一张简短替换表撑起来的渲染器止步的地方。第 7 段区分的是 LaTeX 解析器和看起来像 LaTeX 的显示效果，因为忽略 \def 的 App 会原样打印文字，或者报解析错误。第 8 段需要 mhchem，这是建立在核心数学语法之上的一个宏包，所以一个 App 可能前 7 段都通过，最后一段却不行。

App 说“支持 LaTeX”，可能指四种不同的东西

两个 App 可能都在功能页上写着 LaTeX，表现却完全不同。下面四种实现方式，各有各的失败方式，从外面就能看出来，不用读任何人的源代码。

第三行的数字来自 SwaTex 的 README。它这样描述常见的跨平台做法：一个隐藏的 WebView 吃掉 50 至 150 MB 内存，第一个公式出现前有启动延迟，也不保证断网时能用。这是复用一个并非 App 自己编写的 JavaScript 库的代价。第四种做起来成本高得多，但把浏览器从页面里彻底拿掉了。

原生排版引擎有什么不同

Phrase 用 SwaTex 渲染数学公式。SwaTex 是一个用纯 Swift 编写、与 KaTeX 兼容的数学渲染引擎，不用 JavaScript，不用 WebView，也没有 DOM。它采用 MIT 许可证，公开在 github.com/PhraseHQ/SwaTex，是对 RaTeX（用 Rust 编写、与 KaTeX 兼容的数学渲染器）从零开始的 Swift 移植。Phrase 的 AI 笔记里，每一个公式都由 SwaTex 渲染。它的排版引擎依据内置的 KaTeX 字体度量来执行 TeX 的盒子与粘连规则，而不是依赖平台的文字 API，所以输出和 KaTeX、RaTeX 逐个字形一致。

它覆盖了 KaTeX 官方支持表 1008 项中的 1007 项，包括 pmatrix、align、cases 和 CD 环境，以及可伸缩定界符、重音符号和 \def、\newcommand、\expandafter 等宏。化学方面，通过 \ce 和 \pu 完整支持 mhchem，这部分移植自一个状态机，在 253 个用例的语料上验证与 RaTeX 逐字节一致。证明树使用 bussproofs 风格的 prooftree，可以写推理规则和相继式演算。上面的第 3、5、6、7、8 段都在这个范围之内。

下面的速度数据，是在同一台机器上、用相同的语料，与 Rust 参考引擎对比测出的，取 3 次运行的中位数；2541 个基准公式在两个引擎之间逐位一致。每个数字都能用仓库 BENCHMARKS.md 里的命令复现。

一致性是验证出来的，不是宣称出来的。仓库里附有 scripts/diff_layout.py，在 1000 多个公式的基准语料上，把 LayoutDump 工具和 RaTeX 的排版程序逐一比对；测试套件也把 RaTeX 自己的词法分析器、解析器、环境、mhchem 和排版测试移植到了 Swift。把公式画出来，只是编辑器问题的一半。公式块还需要准确的高度，还得经得起视图复用，这正是两篇文章的主题：《公式块的高度是怎么算出来的》和《让计算过程和讲解待在一起》。

笔记写好之后，可以让助手用它生成作品。开通 Pro，Phrase 就能把一条笔记做成幻灯片、页面、仪表盘、记忆卡片、测验和思维导图；一页写满推导过程的笔记，很适合拿来出测验或做一套卡片。带公式的课堂笔记也一样。

SwaTex 唯一不渲染的那一项

缺的那一项是 \includegraphics，也就是 1008 项里唯一的例外，而 KaTeX 自己也把这个命令放在 trust（信任）设置之后。这个命令会把外部图片引入公式，所以上游把它当作权限问题，而不是排版问题。四个 \html* 命令会渲染其中的内容，但丢弃只对 DOM 有意义的属性，因为原生渲染器没有 DOM，这些属性无从描述。

• 最低部署版本是 iOS 18、macOS 15、tvOS 18、watchOS 11 和 visionOS 2，由 Synchronization.Mutex 决定。面向更早系统版本的 App，目前还用不了 SwaTex。
• 只支持原生 Apple 平台，没有 React Native、Flutter 或 Web 封装。
• 有几处行为是有意和 RaTeX 不同的，每一处都有回归测试锁定。未闭合的 \verb 和 x\limits^2 会报解析错误，而不是被默默接受。
• 深层嵌套的输入由递归计数和栈余量把关，只会报解析错误，绝不会崩溃。不过，恶意输入仍应由宿主 App 限制长度。

本页没有涉及两件事。手写公式是另一个问题，因为 Phrase 接收的是输入、录音和导入的材料，而不是手写笔迹。图表和代码块是和公式分开的另一个问题，上面链接的两篇工程文章讲了它们怎样和公式共处于同一个编辑器。

还有一组事实要分开看。SwaTex 可以为 macOS 15 编译，而 Phrase Mac 版需要 macOS 26 或更高版本。引擎能在某个平台上编译，并不代表 App 支持哪些系统。Phrase 可以在 iPhone、iPad 和 Mac 上使用，三者都用 SwaTex 渲染公式；另有一个用来录音的 Apple Watch App。

Phrase文件编辑格式显示笔记窗口帮助9月25日 周五 9:41

要复习公式很多的内容，可以拿一组你已经写好的推导，跟着一条笔记变成一套闪卡的过程走一遍。

关于笔记 App 里的 LaTeX

苹果自带的“备忘录”能写数学公式吗？与其相信一年前写下的说法，不如在你手头的 App 里跑一遍自测。“备忘录”能做什么，Apple 在自己的支持页面上有说明，而答案会随 iOS 版本变化。第 1 段和第 3 段，大约十秒就能见分晓。

能在“备忘录”里写 LaTeX 公式吗？输入 LaTeX 和渲染 LaTeX 是两个问题。任何 App 都能把 \frac{a}{b} 这几个字符当作文本存下来。关键在于会不会出现一条横线，a 在上，b 在下，这正是第 1 段要检查的。

支持 LaTeX 的笔记软件应该能处理什么？拿 KaTeX 支持表当共同的标尺，它是公开的，共有 1008 项。能处理环境、可伸缩定界符、宏和 mhchem 的 App，用的是和参考实现相同的语法。只能处理行内分数的 App，做的事情要小得多。

数学笔记 App 画一个公式需要联网吗？要看是哪一种。返回图片的转换器需要一个来回，WebView 引擎在第一个公式之前有启动成本。SwaTex 在 App 自己的代码里完成解析和排版，全程不经过浏览器。