用 8 個公式，測試 LaTeX 筆記 App

貼上這八個公式，看看顯示出什麼

這項檢查不到一分鐘，也不需要帳號。把下面的區塊拷貝到你要評估的 App 裡的一則新筆記，一次貼一段或全部貼上都可以，再把結果和每段後面那一行比對。這裡的每一段都是 KaTeX 能正確顯示的有效 LaTeX，所以如果顯示失敗，問題出在 App，而不是輸入。

筆記 App 的 LaTeX 自我測試
一次貼一個區塊，和「正確結果」那一行比對。

1. 巢狀分數
\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}
正確結果：三條疊在一起的分數線，每條內層的線都比外層短，
字也比外層小。

2. 帶上下限的運算子
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
正確結果：在獨立成行的顯示模式下，n=1 和無限大分別位在 sigma 的
正下方和正上方，而不是右邊，而且 sigma 比周圍的文字高。

3. 矩陣環境
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
正確結果：兩列，圓括號長到和整個矩陣一樣高，
-1 升高在右括號的右上角。

4. 可伸縮的括號
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \le
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right)
正確結果：每個括號都長到和它包住的求和一樣高，
成對的兩個括號高度相同。

5. 對齊
\begin{align}
(a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
(a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2
\end{align}
正確結果：一個兩行的區塊，兩行的等號對齊在同一欄。

6. 分段函數
f(x) = \begin{cases}
  x^2 & \text{if } x \ge 0 \\
  -x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
正確結果：一個大括號橫跨兩列，兩個條件用直立的正體文字，
而且條件自成一欄。

7. 巨集定義
\def\dd#1{\mathrm{d}#1}
\int_0^1 x^2 \dd{x} = \frac{1}{3}
正確結果：巨集會展開，所以 x 前面出現一個直立的 d，
積分符號上下是 0 和 1。

8. 化學式
\ce{H2SO4 + 2NaOH -> Na2SO4 + 2H2O}
正確結果：數字是下標，元素符號是直立的正體，而不是斜體的變數，
還有一個完整的反應箭頭。

八個公式之後
- 把游標放進顯示好的公式裡，選取其中一個字元。
  如果做不到，這個公式就是一張圖片。
- 把系統切換成深色模式。公式如果還是黑色的，
  代表它的淺色背景是直接做進去的。
- 把筆記設成最大的字級。圖片會變模糊，
  排版出來的公式則依然清晰。

要看的是失敗的地方，而不是成功的地方。第 1 段告訴你，這個 App 做的是排版，還是字串替換。第 3 段和第 6 段，是靠一張簡短替換表運作的顯示方式會卡住的地方。第 7 段區分了真正的 LaTeX 解析器，和只是看起來像 LaTeX 的顯示，因為不理會 \def 的 App，會直接印出原始文字，或丟出解析錯誤。第 8 段需要 mhchem，這是疊在核心數學語法之上的套件，所以一個 App 可能通過前七段，卻在最後一段失敗。

App 說「支援 LaTeX」，可能指四種不同的事

兩個 App 可以在功能頁上都寫著 LaTeX，實際表現卻完全不同。下面四種做法，各自都有從外面就看得出來的失敗方式，不必讀任何人的原始碼。

第三列的數字出自 SwaTex 的 README，裡面形容常見的跨平台做法是：一個隱藏的 WebView 吃掉 50 到 150 MB 的記憶體、第一個公式出現前有啟動延遲，也無法保證離線可用。這是重複利用一個不是自己寫的 JavaScript 函式庫所付出的代價。第四種層級的開發成本高得多，但把瀏覽器從頁面裡拿掉了。

原生排版引擎有什麼不一樣

Phrase 用 SwaTex 顯示數學公式。SwaTex 是以純 Swift 寫成、與 KaTeX 相容的數學排版引擎，沒有 JavaScript、沒有 WebView，也沒有 DOM。它採用 MIT 授權，公開在 github.com/PhraseHQ/SwaTex，是從頭用 Swift 移植 RaTeX（以 Rust 寫成、與 KaTeX 相容的數學排版引擎）的成果。Phrase AI 筆記裡的每一個公式，都由 SwaTex 顯示。它的版面引擎依據內建的 KaTeX 字型度量來執行 TeX 的盒子與黏合規則，而不是依賴平台的文字 API，所以輸出結果和 KaTeX、RaTeX 逐字形一致。

涵蓋範圍是 KaTeX 官方支援表 1008 個項目中的 1007 個。其中包括 pmatrix、align、cases 和 CD 這些環境，以及可伸縮的括號、重音符號，和 \def、\newcommand、\expandafter 這類巨集。化學式透過 \ce 和 \pu 完整支援 mhchem；這部分以狀態機移植而來，並在 253 個測試案例上驗證與 RaTeX 逐位元組一致。證明樹則用 bussproofs 風格的 prooftree，處理推論規則和相繼式演算。上面的第 3、5、6、7、8 段，全都在這個範圍內。

下面的速度數據，是在同一台機器上、用完全相同的測試集，和 Rust 參考引擎比較的結果，取 3 次執行的中位數；兩個引擎在全部 2,541 條基準公式上的輸出逐位元一致。每個數字都能用儲存庫中 BENCHMARKS.md 的指令重現。

一致性是經過檢查的，不只是宣稱。儲存庫附有 scripts/diff_layout.py，用 1000 多條公式的基準集，比對 LayoutDump 工具和 RaTeX 版面程式的輸出差異；測試套件也把 RaTeX 自己的詞法分析器、解析器、環境、mhchem 和版面測試移植到 Swift。把公式畫出來，只解決了編輯器問題的一半。公式區塊還需要準確的高度，也要在畫面重複利用時保持正確，這正是公式區塊的高度怎麼算，以及讓計算緊貼著說明這兩篇文章的主題。

筆記寫好之後，就可以請助理用它做出一份作品。訂閱 Pro，Phrase 就能把一則筆記做成簡報、頁面、儀表板、字卡、測驗和心智圖，而一頁寫好的推導，正適合拿來做測驗或一組字卡。有方程式的上課筆記也一樣。

SwaTex 唯一不顯示的項目

缺少的項目是 \includegraphics，也就是 1008 個項目中唯一的例外，而 KaTeX 本身也把這個指令放在 trust 設定之後。這個指令會把外部圖片拉進公式裡，所以上游把它當成權限問題，而不是排版問題。另外有四個 \html* 指令會顯示內容，但捨棄只對 DOM 有意義的屬性，因為原生的排版引擎沒有 DOM 可以讓這些屬性描述。

• 最低部署版本是 iOS 18、macOS 15、tvOS 18、watchOS 11 和 visionOS 2，由 Synchronization.Mutex 決定。以更舊系統版本為目標的 App，目前還無法採用 SwaTex。
• 只支援 Apple 原生平台。沒有 React Native、Flutter 或 Web 的封裝。
• 有少數行為刻意和 RaTeX 不同，每一項都有回歸測試固定下來。沒有結尾的 \verb 和 x\limits^2 會是解析錯誤，而不是默默被接受。
• 層層巢狀的輸入，有遞迴次數和堆疊餘裕的保護，只會產生解析錯誤，絕不會當機。惡意輸入仍應由使用它的 App 限制長度。

這一頁有兩件事沒談。手寫數學是另一個問題，因為 Phrase 處理的是打字、錄音和匯入的內容，而不是手寫筆跡。圖表和程式碼區塊則是和公式分開的問題，上面連結的兩篇技術文章，說明了它們怎麼放在同一個編輯器裡。

還有一組事實要分清楚。SwaTex 可以為 macOS 15 建置，而 Phrase Mac 版需要 macOS 26 或以上版本。一個引擎能在某個平台上編譯，並不代表 App 支援哪些系統。Phrase 可以在 iPhone、iPad 和 Mac 上使用，三者都用 SwaTex 顯示公式；另有一個用來錄音的 Apple Watch App。

Phrase檔案編輯格式顯示方式筆記視窗輔助說明9月25日 週五 上午9:41

公式很多的頁面要拿來複習的話，可以用一組你已經寫好的推導，照著筆記做成一疊字卡的方法練習一遍。

關於筆記 App 裡的 LaTeX，常見的問題

Apple 的「備忘錄」能寫數學嗎？與其相信一年前寫的說法，不如直接在你手上的 App 做這份自我測試。Apple 在自己的支援頁面說明「備忘錄」能做什麼，而答案會隨著 iOS 版本改變。第 1 段和第 3 段，大約十秒就能見分曉。

可以在 Apple「備忘錄」裡寫 LaTeX 方程式嗎？輸入 LaTeX 和顯示 LaTeX 是兩個不同的問題。任何 App 都能把 \frac{a}{b} 這幾個字元當作文字存著。重點是會不會出現一條橫線，上面是 a、下面是 b，而這正是第 1 段要檢查的。

支援 LaTeX 的筆記 App，應該處理得了哪些東西？用 KaTeX 支援表當作共同的量尺，因為它是公開的，共有 1008 個項目。能處理環境、可伸縮括號、巨集和 mhchem 的 App，和參考實作用的是同一套語法。只處理行內分數的 App，做的事情就小得多。

數學筆記 App 需要網路連線才能畫出公式嗎？要看是哪一種層級。傳回圖片的轉換器需要來回傳送；WebView 引擎在第一個公式出現前有啟動成本。SwaTex 則在 App 自己的程式碼裡解析和排版，完全不經過瀏覽器。